20 SUR UNE SUITE DE POLYNOMES ENTIERS 



Changeant n en n — l, n — 2, ... , 1, et ajoutant, on obtient 



27. Remarque. De 



Pp = 1 + iij,x -\- hpX- -+- CpX' -+-•■■ H- UpX'"'^ -i- a'' ', 

 OU 



a:"+'Pp = a:'--+' + a„x'-^'' -t- l)„x''+' -t- ■•• + a,x"+''^' -t- x"+^ 



on conclut 



di'+'ïx'"*-'? 1 



L_^^J = (,n- l)n...(w — ;? + l)a:"-'' -i- (« -+ i!)(» -^ i).. .{n — p -h -2)a^x"^''-^' -+-•■; 



puis, au lieu de la formule (52) : 



i f/''+'[a:"+'Pp] 



r(/j + 2) ilx''+' 



S„ = - 1^^ 11ix=\) (33) 



Si, par exemple, « = 5, yj = 3 : 



1=-H 2'+ 5'-t-4'+ S' = f,|6.3.4.ô-H4.7.6.5.4-+- 8. 7. G. 5] 

 = 15-+- 140 -t- 70 = 225; 



ce qui est exact. 



28. Valeurs des coefficients «p, b^,, c^, Dans l'égalité 



?/p(l — a')''+'= I -t- OpX-t-/*px"-+- h 6pX''-' -t- x"-', . . 



remplaçons y^, par sa valeur, puis effectuons la multiplication indiquée. En 

 identifiant, nous trouvons : 



«p=2''-Cp+,.,-l^ 



6p=5"— Cp+.,,-^-i'' + ^P+i,'i-l'. 



Cp = 4^-Cp^.,,••5" + ^.+...•^''-^^.+.,.•^^ ) . . . . (54) 



(/„ = 5" - C,,^,,, . 4" + C„+,,o . 5'' - (:p+,,3 2" -1- Cp+M- '"- 



(*) Foi'iiiulc analo|;iie l\ celle que j ai (loniiéc dans les ynux^dles Annules (t. XV), mais peut- 

 pliT un peu plus simple. 



