ET SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 23 



La partie imaginaire de celle-ci est 



, e'"+""'''sin(nsin(p) — e""'?sin (n ->- 1 sin(p) + sin(sin(p) 



~ e'»'?_2cos(siii(p) ■+- e-""f 



La formule ci-dessus devient donc 



n 



32. Cas particulier. Pour n= \, la fraction se réduit à 



e'""ysin(sin(p ) - e'°'ysin(2sin(p) h- sin(sin(p) _ ^^„,^^.^^^.^ 

 gcosy _ 2cos(sin(p) + e-'°'f 



Et comme Sp = 1, on a ce résultat remarquable, signalé ci-dessus ; 



1 e"'?sin(sin(p)sinï)(p(/cp= (42) 



33. Remarque. Les formules foO), (58), (59) sont en défaut pour ;j= 0. 

 C'est à quoi l'on devait s'attendre : les équations (37), (38), d'où elles sont 

 tirées, supposent y^ ^ 1- 



34. Expressions de A"(0''), en intégrale définie. On a, comme l'on 

 sait, 



A"(0'') = «' - ^ (n - \Y + -Y^(« - -)' * :f • '"• 



Donc, par la formule 



„p = _ -l'''^irrr(p -t- ^)y%"<"•?+^^^''°i"sinp(p(/(p: (58) 



(*) Poisson, Jour«a< de l'École polytechnique, XIX" Cahier, p. 493. L'illustre Géomètre a 

 clierché la valeur de l'intégrale définie, tandis que je me suis proposé de ti-ans former Sp en 

 intégrale définie. La concordance des résuilats permet de supposer qu'ils sont exacts. 



