24 SUR UNE SUITE DE POLYNOMES ENTIERS 



2./ /''r " , . n{n—\) , , M 1 



A"(0'') = J/— ir(p + \) I e"'^ e<"-"'^-i-— ^ — ^Je("-2ij; ± -e''- sinpçrfcp; 







« représentant cosy +|/ — 1 siny. 



La fonction entre parenthèses égale (e' — l)"±i. Ainsi 



t.) 71 I \ 



A"(0'') = — -l/— ir(p H- 1)^ [e""''+^^-"'"?— l]"it I siii/jtpi/cp; . . (60) 



pourvu que Ton néglige, toujours, la partie réelle de l'intégrale (*). 

 Posons 



p(cose + l/^^sin9) = e™''''+*''^''"'' - I = c""?[cos(si(i(p) -t-l/— I siii(sin(p)]— I , 



OU 



pcose = e""?cos(sin(p) — 1 , psinô = e"'?sin(sin<p); (61) 



OU encore : 



sin (sintp) 



0^ = 6™'?— 2e"'?cos(sinœ) -t- I, tg9 = ^—-^ — : (62) 



^ V y; ' b cos(sin(p) — e'-î' ^ 



L'intégrale ci-dessus est transformée en 



r ,V"(cosM9 -\-V — I sin«e) ± \ S sinpcprfcp. 



Par conséquent, 



"2 



A"(0'')=-r(p -+- I) / p"siii;(9sinp(p(/(p("*) (65) 



(*) On peut donc, si l'on veut, faire abstraction du terme ±sinp(p. 



(**) Dans son Mémoire sur diverses formules relatives à la théorie des intégrales définies 

 (Journal de l'École polytechnique , XXVIII' Cahier), Cauchy donne des expressions de A'"(0'), 

 lesquelles, en général, me paraissent inexactes. Par exemple, à la page 216, on lit: 



a -t-l /^ 1 /2s -4- m m \ 



2"'+'r(a -t- l)cos — ; — T / sin^-ajcos ^ — x+ — r] 



« A"4'» = -T-, / — dx, 



a -4-1 /-t 1 r2s-i-m m \ 

 2™+' r (a -+- 1 ) sio — - — ?r / sin" -a; sin — r — x-i ît 



1) i^"'s° = / dx. " 



Si, après avoir corrigé l'étonnante faute typographique contenue dans ces formules, on sup- 



