6 SUR LA QUADRATURE 



Les formules (8), (9), (IS) sont remplacées par 



/'+' F(x) 



F(x) = {x^— 1)(a: — a:,)..-(x -x„_,), (17) 



y'^F(x)i|;(x)(/x = (18) 



Les conditions (17) et (18) seront remplies si Ton prend 



d"-'(x-— 1)" 



FW = " — ;z?^=:~' ('9) 



ô étant un coefficient numérique; ou, ce qui est équivalent, 



F(x) = e,yjX„f/xn, (20) 



X„ désignant, cette fois, la fonction de Legendre. 



En eff^et, toutes les dérivées de {x^ — 1)", jusqu'à l'ordre n — 1, inclu- 

 sivement, contiennent x~ — 1 en facteur; donc, si l'on intègre par parties, 

 on aura 



/ F[x)'^{x)dx = -oJ i___^|'(x)rfx; 



et ainsi de suite (**). 



(■) 9 = . Quant au SLCoiid coeflicicnl, à cause de 



^ ' 2h(2u — l)...(^^-t-2) 



X = ^ — = — 5^ ! : (x" — . . ) 



2". 1.2.3. ..)i dx" 2".1.2.3...n 



il a pour valeur 



' ()i-t-2)(n-i-5). ..(2rt — 1) • 



(**) C'est (le celle manière que Jacobi a démontre quelques-unes des propriétés de la fonc- 

 tion X„ (Journal de Lion ville , t. Il, p. 106). 



