DES COURBES PARABOLIQUES. 7 



7 . Remarque. D'après la formule (20), la fonction Y{x), ou plutôt le 

 polynôme Fn^, est, à un facteur près , le coefficient de z""^' dans le dévelop- 

 pement de ^\ — 2zx + z^ (*), 



8. Développement de F(a?). Si l'on fait u = (.r + 1)", v = (x — 1)"^ 

 la formule de Leibniz : 



f/"-'((/t)) f/"-'i' ii—\(lud"-H d"-'u 



dx" ' ~ " dx"-' "* î dx dx"-^ -+-••-+- ^^^„_, '^ > 



donne 



-^^ ==(..•-»- !)"«(//- n...2(x - I) -♦- — j — «(a- -H 1)" '.«(/i -l)...5(x— If 



(« — !)(„_ 2) 

 + ^-^; n(n—^){x-^^)"~\n{n—\)..A{x—^f-^-...-^-n{n-^)...^x^^){x—^Y. 



Le terme général est 



{n — 1 )...(« — p) 



« (n — 1 ) . . . (/( — p -4- I ) X « (/; — 1 ) . . . fp -+- 2) (.r + 1 )"-'' (x — D- 



1 . 2 . . . p 



Si on le divise par 4 .2.8 ...«, il devient 



[n — \)...{n— p) n{n — \)...[n — p -{- \) 



ip+i 



{x ■+ l)"-''(x — 1)"+', 



1.2...p 1 .2...(/> -t- 1) 



OU 



-C„.,.C„.^,(x'-l)(x+ |)'-p-'(x-fr 



Par conséquent, 



L--^_ = 1.2.3...(«-l)(x-^-l)2 C„„.C„.,+,(x-t-t)"-^-'(x-l)'; 



,,=0 



puis 



pf^) = ^ — 2 '■"..•c„.;>^.(x + ir''-'(^-i)'' (21) 



^•■în.n-l p=0 



(*) ^Vo(e SHJ- /e.s- foiirlioiix \„ 



