4 SUR LES FONCTIONS X„. 



Cette égalité est la même chose que 



(1 -+- z){i ^- X,: -+- X,;- + 1- X„s" -t- • ••) — 1 = 



[1 -H X,c -+- X.,z- + ■■■ + X„z" -!-•••][: fX„ilx + z\f\(lx + ■ ■ ■ + z"+' f'Xjl.r +•••]. 



Dans le pi'emier membre, le coedîcienl de z"~^' est X„ + X„^, ; dans le 

 second, ce coellicient égale 



X„ f'Xjlx H X, rX„^,ilx H + X„ f'XJx. 



Par conséquent , 



X„ H- X„.^, = X„ /"X„(/.r + X, rx„^,(/x -H .. . -t- X„ rx,dx. ... (A) 



Cette relation, qui n'est peut-être pas nouvelle, me paraît assez curieuse. 

 2. DÉVELOPPEMENr DU RADICAL. L'équatiou (2) peut être écrite ainsi : 



OU sous cette forme un peu plus simple : 



V/t -2;x-4-z-= I — ca:— \'i''+' /'X„r/x (B) 



I '-i 



Ainsi, la série 



z' f'x.dx -^-z- J 'X,(lx -^ - + z"+'fX,dx + ■■■ (4) 



est convergente, et a pour limite 1 — zx — VI — âzx + z^. 

 3. Examen d'uxe difficulté. On a 



y X„(/x = — y " cos"~'(p(xcoscp -+- l^ — 1 sin(p)"+'rfç, ... (5) 



pourvu que Ton néglige la partie imaginaire de l'intégrale (*). 



(*) 31, 86. 



