4 SLR LES COLRBES DU TROISIEME ORDRE. 



.Cette dernière forme^ pensons-nous, n'a pas encore fait, néanmoins, l'objet 

 de recherclies analytiques, du moins dans sa forme complètement générale. 

 Nous aurons l'occasion de mentionner, dans le cours de ce travail, les résul- 

 tats que nous avons rencontrés dans les écrits de quelques géomètres, et qui 

 se rattachent à cette question. 



Nous commencerons par déterminer les covariants et les invariants de f, 

 en l'amenant d'abord cette forme à une somme de polaires d'expressions ne 

 contenant qu'une seule série de variables, en nous servant des méthodes de 



M. GORDAN. 



Pour plus d'uniformité dans les notations, nous représenterons, en géné- 

 ral, par 



l'opération 



1 / (/ (M 



m \ dij, dy^l 



m désignant le degré, par rapport aux variables y, de la fonction à laquelle 

 on applique l'opération. 

 Nous trouvons ainsi 



= Dxj,D,,[ai„,TÎ -f- (a„-2 + «121 + (>in]x\Xi -4- (a,.» -1- a-m + (hu)XiXl + Oj^îX^] 



2 



Oin -*- 021l\ , I «212 



1 X) 1 fl22i 



• - (x?/)D..^[(a,2, — am)Xi — (0212 — ai22)a:2]- 



— JX2J 



Les trois expressions, entre crochets, sont des covariants de /". 

 II suflira, pour trouver tous les covariants de f, de former le système com- 

 plet de ces trois covariants (*). 

 Posons 



c.l= 0,1, ïi + (o,,2 -+- 0,2, + ai„)x\x.i + (0,22 + O212 -+- «22i)x,X2 + «222X2, ... (2) 



Xl = («121 — Oll2)Xl — (O212 — 022l)X2, \ 



%2=(«ll-2 — «21l)X, — («221— «122)X2> \ (3) 



%5 = («211 — Ol2l)X| — («,22 — a212)X2- / 



{') Clebscu, Théorie der binàren Forme» , \).'-HJ. 



