SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 7 



On s'aperçoit sans peine que, le point x étant indéterminé, les points z, 

 correspondant aux points y, racines de Téquation 2^= 0, sont eux-mêmes 

 racines de l'équation 2, = 0. 



Nous pourrions aisément prouver, en nous fondant sur la forme même 

 des 2, que ces fonctions sont des covariants de f. Mais les relations suivantes, 

 en nous permettant de rattacher 2,, 2,, 2^, au système de /", démontrent ce 

 théorème. 



Nous trouvons 



H,— 3(Si + Z-2-+-25) + 4(%î-+-%l + %l) = 0, (3) 



3(2. —2,) = r,- %,(%,-%,), (6) 



3(22 — 23) = r, — x,(%2— %3), C^) 



3(23 — 20 = 1^2 — %2(%3—%0 (8) 



De ces équations se déduisent les suivantes : 



92, = H, -t-r, — r2-2x|-2xl-Sx2%3, (9) 



92. = H, + r,-r3-2xî-2xl-5%.%3, (iO) 



923 = H, + r2-r,-2%l-2%î-5%,x. (11) 



Nous mentionnerons encore les covariants 



n, = 22 — 23, n2 = 23 — 2,, n, = 2, — 2^, 



et 



P, = 2j-<-2„ Pj = 23-+-2,, P3 = 2, -+-2,. 



Des trois premières égalités résulte l'identité 



n.H-n, + n3 = (12) 



Il est aisé de se rendre compte de la signification géométrique de la plu- 

 part des covariants que nous avons rencontrés. 



Supposons que 



/ = o, 



définisse trois séries homographiques sur une droite. 



