SLR LES COLRBES DU TROISIEME ORDRE. 



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il existe, entre huit groupes de trois points, la relation : 



a-i'y,"zi" a;"2/;"4" x[»yi"z['^ x<"!/S"4" x^"î/^"4" 



a:f.viV," x['hj?z'i> xf'!/?'«f' a-iV^i"' 4-'y^"4" ^^ 



xi«'t/;«'z'," xi"i/i»'5^" xiV'^i" ^î*"yi"2i" X^«'î/t»)4" 



condition qui peut se mettre sous la forme 



IV, (X.iri" - X,x<''J (Y,>/y' - Y,.yl")(Z,4'> - Z,:',") = (*). 



i=l 



Nous pouvons concevoir d'un autre côté, des séries homographiques 

 formées par les ternes communs aux deux homographies 



Il en résulte que sept ternes de points satisfont à la condition 



xi'VlVr' xiyr^r ^Tu'M 



Xj '/j *2 



Xi"î/',"zi" xi")/7'2?' 



x^'</?>r^ 



= 0, 



et, par suite, à Tidentilé 



v',,,(X,x!;' - \,xT)[Y,u'P - Y,»/l")(Z,zï' - Z,zl") = 0. 



Nous dirons qu'une telle identité définit une homographie du troisième 

 ordre et du premier rang. On démontre aisément la propriété suivante de 

 celle homographie : 



Théorème. — Trots séries homofjraphiques , du troisième ordre et du 

 premier rawj , possèdent quatre points doubles (**). 



(*) C. Le Paige, a. F. A., pp. 17 et suiv. 



(**) La même chose a lieu si l'on combine la série des y avec celle des z ou celle des z avec 

 celle des x. 



