18 SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



deux points distincts qui leur correspondent, ces deux points sont donnés 

 par les racines de l'équation 



et il existe une infinité de points qui correspondent aux deux points donnés. 



Il est inutile de s'arrêter à la démonstration de ce théorème. 

 Si nous désignons par x,,x.„ x.; y,, y.,, y^, les racines des deux équa- 

 tions 



il est visible que Tinvariant 



(«6)', 



est égal à 



Mais on a l'identité 



XiJjXj— ^lx,Xi2y, + {Ixilijiiji — }i,yîyi 

 = { [(j, - y,) (.r^ - )/,) (x, — J/,) -+- (.r, - y.^r, — y.\{xr. - y,) -+- (x, — y,)(x, — y,){x, — y^]]. 



Nous avons, dans d'autres travaux, désigné ces fonctions de six lettres, 

 qui figurent dans le second membre, par I,_,^,^. 



Si nous les introduisons dans l'identité (B), nous en pouvons conclure la 

 proposition suivante : 



Théorème V. — L'involution du troisième ordre et du second rang 

 s'exprime, par la réduction à zéro, d'une somme de produits deux à deux 

 d'invariants Iq,q,q^. 



Le quotient de deux de ces fonctions I,,,^,^ est un invariant absolu : nous 

 l'avons appelé rapport anharmonique du troisième ordre {*). 



Nous avons désigné par 



(*) F. Folie, Note sur l'extension de la nutiou du rapport anharmonique, Bull, de l'Acad., 

 t. XLIV, p. 469. 



C. Le Paige, Sur l'extension des théories de l'involution et de l'homographie , Ibid., p. S46. 



