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SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



Les autres fonctions 3 se rapportent aux combinaisons de x,, x.,, x-, 



avec 5,, u.„ y-,; ih, y., -r,; "u -2, y-; -1, y-2, ih; y^, ^'2, -.-,• 



Nous avons vu que Ton peut considérer une honiograpliie particulière, 

 du troisième ordre et du premier rang, définie par les deux relations 



fi = lllhaiXiy.z, = 0. 



Celte homographie peut se particulariser comme Thomographie la plus 

 générale et donne alors lieu à Tinvolution, caractérisée |)ar deux relations 

 simultanées, que nous appellerons involulion du troisième ordre et du 

 premier rang. 



Soient 



/■= a,X|?/,:, H- «.2(x,î/,j2 H- x,y.2Z, -+- x^y^z,) -+- (hiT^y^Zi -*- x^y^z^ -\- x^y^Zt) •+ a^x^y^z^ = 0, 

 /", = 6,X|!/iC, -t- b.2{x,yiZ, -t- x^y-iZ, ■+- x^î/iZ,) + lh{x,yiZ.2 + X2»/,rj -t- XîJ/jr,) -*- 63X,2/2Z2 = 0. 



On voit, d'abord, qu'il existe entre trois ternes de points la relation 



D,= 



X|i/,J, Xty,z.2 ■+- x,î/,r, -+- ar.,?/,:;, Xiy^Zi -+- x^yiZi -t- x^f/jî, XsJ/îZî 



a"!»/!-! ai^i'î + ari?/2î; -+- x;»/;=; x;»/;:;-*- x;j/;:;-+- xj«/;:i x;î/;z; 



a'i'i/ï'i' a'iYi's H- I/ï-Ts-i' -H a-s'yi'^ï x'iylz': -^ x'iy^zï -i- x^y'^z'; xlylzl 



= 0. 



Si nous regardons les trois ternes de points comme définis par les 

 équations 



al = 0, bl = 0, d = 0, 



cette condition peut s'écrire 



d; = bo b, b. 63 =0, 



Co Cl (-2 C3 



OU, en employant les notations symboliques 



{ub)(bc){ca)aj),r,^0. 



