SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 21 



On peut conclure d'une propriété des déterminants rectangulaires, ou de 

 ridentilé (C), qu'il existe entre les trois formes al, bl, cl, une relation 

 linéaire 



k,al + kJ>l-*-kA = (19) 



Théorème VII. — Vinvolution du troisième ordre et du premier rang, 

 définie par les conditions f= 0, f, = 0, possède quatre points doubles {*). 



Nous obtenons l'équation dont les racines représentent des points doubles, 

 en faisant 



,(,,, = 0,; «||.j = a,.,| = f(.,|, = Oj; Oi2i = o«i'2 = "-221 = "s'i «222 = "4! 



/;,„ = &, ; /)„, =6,.,, = 6j||= 62; 6,22= ^2= ^221 = ^3; ''222 =''4) 



dans l'équation (a), p. 14. , où l'on pose y, =z,, 1/3 = 2.2. 

 On trouve ainsi 



y\(a,b.i - aJh) + 'iyVj-iUhf', — a^b,) -+- yVjl[{»J>i — aj>i) -+- ù{chb^ — «A)] 

 + ^2ijtyl(aJ)i — «463) -+- yi((iA — (uhi) = 0. 



C'est, comme Ton voit, le Jacobien des deux formes, 



(o,, 02, Os, tu [ X,, X-îf, 

 (6,, 6», 63, 64 ïxi, Xif. 



Théorème VIII. — L'invohition du troisième ordre et du premier 

 rang, définie par les conditions f= 0, f, =0, possède quatre points de 

 ramification. 



Ces points sont donnés par les racines de l'équation que l'on obtient, en 

 posant, dans le discriminant de l'équation (a), les conditions précédentes. 



On trouve ainsi l'équation 



y{[(a,63_«36,f-4(a,6, -«2fc,)(a263 — «sJ'î)] -*----=0 (20) 



(*) Nous avons publié le ihcorènic général dans notre Mémoire sur quelques applications de 

 la théorie des formes algébriques, p. 5^2, et aussi, dans le Bull, de l'Acad., t. XLVI, août 1878. 

 Voir, à ce sujet, le travail de M. Wevr. 



