22 SUR I.ES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



Théorème IX. — Les ternes de points appartenant à une involution du 

 troisième ordre et du premier rang sont conjugués harmoniques de deux 

 ternes de points (*). 



Pour une raison que nous développerons dans le chapitre suivant,, nous 

 avons appelés conjugués harmoniques deux ternes de points définis par les 

 équations 



al = 0, 6'; = 0, 



telles que Tinvariant 



[abf = 0. 



La démonstration de ce théorème résulte immédiatement des conditions 



/ = 0, A = 0. 



En effet, soit 



(C, fj, Cj, f j ( a;,, xjf = c^ = 0, 



l'équation qui représente un terne de points de l'involution. 

 Les conditions /= 0, /", = 0, peuvent s'écrire 



a,C4 — ôajfj -»- 3a3C2 — «jC, =: 0, 

 6.)C4 — d6jC3 -t- Ô63CJ — fcjf, = 0. 



Réciproquement , lorsque trois ternes de points sont conjugués harmo- 

 niques de deux mêmes ternes, ils appartiennent à une involution du troi- 

 sième ordre et du premeir rang. 



On peut définir l'involution de douze points de la manière suivante : 



Théorème X. — Lorsque quatre formes a', b', c^, d^, sont telles que les 

 invariants (ag)"', (hg)"\ (cg)', (dg)^, sont nuls, gl étant une autre forme du 

 troisième ordre, il existe une relation. 



Nous avons vu plus haut (théor. II) que pour une involution caractérisée 



{') Ce lliéorème, sous sa forme |)ui'eraenl analytique, appartient à M. Rosanes. 



