SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. :2o 



celte condition peut s'écrire 



(Jc)'J..c» — 3(Jw)J»M', = 0('). 



On peut aussi exprimer l'involution de neuf points par l'égalité de rap- 

 ports anharmoniques du troisième ordre. 

 Soient 



X,, Xi, Xj", ?/, , 1/2, t/j; Z|, «,, z,, 



trois ternes de points en involution. 

 On a, entre eux, l'égalité suivante : 



(x, — Vi1 (y, — :.)(z, — X;) (x, — z,) {tf, — x,1 (z, — y,) 

 (x, — z,)(i/, — Xî)(z, — yt) (X, — )/3J((/, — Z5)(z, — Xs) 



et d'autres analogues. 



Ce n'est pas, d'ailleurs, la seule façon d'exprimer que des séries de points 

 sont en involution , au moyen du rapport anharmonique de troisième ordre. 



On a, par exemple, 



'^ (Xj — yù {Xj — z.) (a:, — »/,) ^ 



i=, (m. — X.) (l/, — Xs) [Z, — X3) 



Cette relation a lieu entre quatre ternes de points appartenant à l'invo- 

 lution du troisième ordre et du premier rang et s'étend aux ordres supé- 

 rieurs. 



Nous mentionnerons encore les propriétés suivantes, dont nous aurons 

 l'occasion de tirer parti dans la suite de notre travail. 



Théorème XIII. — Lorsque deux involutions du troisième ordre et du 

 premier rang ont un groupe commun, deux groupes non communs, pris 

 dans chaque série, sont en involution du troisième ordre et du second 

 rang. 



(') C. Le Paige, Sur cerlams covariants d'un système cubo-biquadralique , Bull, de l'Acad., 

 I. XLVI, p. 769. 



(*■) F. Folie, Éléments d'une théorie des faisceaux, p. 6(5. 



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