28 SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



où i et j représentent les invariants 



[abf, {ahY[bcy{caY 



de la quartique 



L'équation (30) donne, en même temps, Tinterprétation géométrique des 



deux relations 



i = o, i=0; 



elle permet, en outre, de trouver Pexpression de ces deux invariants au 

 moyen des fonctions 



M = ( J, — a:,) [Xi — Xt), r = (ar, — T,) (xj — x,) , 



et de Tinvariant absolu^ au moyen du rapport a, comme Texige la théorie des 

 formes algébriques. 



Sans avoir résolu toutes les questions analogues, pour le troisième ordre, 

 nous avons néanmoins abordé la plupart d'entre elles et nous en avons pour- 

 suivi assez loin l'étude. 



Bien que le degré élevé des équations auxquelles on arrive ne permette pas 

 de tirer, des résultats obtenus, toute l'utilité qu'on aurait pu s'en promettre, 

 nous avons cru nécessaire de compléter, autant que possible, le travail que 

 nous avions entrepris. 



Tout d'abord, nous désirions présenter, dans tous leurs détails, les notions 

 qui pourraient trouver leur emploi dans la théorie des cubiques planes. 



De plus, outre l'intérêt analytique que nous semblent offrir ces questions, 

 les surfaces du troisième ordre , dont le mode de génération est complète- 

 ment analogue à celui des coniques, pourront donner lieu à quelques études, 

 même après les travaux si complets d'illustres géomètres, parmi lesquels 

 nous citerons surtout Steiner et M. Cremona, où les recherches actuelles 

 trouvent d'utiles applications. 



Soit 



une équation du sixième ordre, dont nous représenterons les racines par 



Xi, J's, Xj, a'4, Xj, Xj. 



