SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. ^ 29 



Nous conviendrons de représenter, par le symbole (^ik), la différence 



(Xi — Xj). 



Nous avons précédemment appelé l,.ç,..,,„, des expressions telles que 



(12) (34) (56). 



Cette notation, utile, nous semble-t-il, dans le cas général, offrirait, ici, 

 le désavantage d'être assez compliquée : nous n'en ferons pas usage dans le 

 présent travail. 



Il est visible que l'on peut former quinze de ces quantités (*). 



Ce sont 



(12) (ôb) (46), (12) (34) (65), (12) (36) (54), 



(15) (24) (5G), (15) (25) (f,4), (13) (26) (45), 



(14) (25) (56), (14) (-23) (65), (14) (20) (53), 



(15) (26) (3i), (15) (23) (46), (15) (24) (65), 



(16) (25) (54), (16) (25) (45), (16) (24) (55). 



Nous les désignons par 



«1, «2. «3, «i, «s; |5i, Pi, P:,, pf. Ps. ri, Ti, Yz, Tt, Yy 



Le quotient de deux d'entre elles est, on le voit, un des invariants que 

 nous avons représeiiiés par 3,,,,. .,„. 



On peut former deux cent dix de ces fonctions, inverses deux à deux. 

 Nous retrouverons plus loin, d'une autre manière, ce résultat, évident par 

 la tbéorie des combinaisons. 



Cependant, parmi ces cent cinq rapports distincts, il n'en est que soixante 

 qui contiennent les six lettres a?,, x.2, x., ... x^. 



Comme il est facile d'écrire, à l'aide des quinze quantités données plus 

 haut, ces soixante rapports anharmoniques, nous nous dispenserons de les 

 reqroduire ici. 



(*) Tebquem avait déjà donné ce résultat, Nouv. Ann. de math., \" série, t. VI, p. 68, et 

 t. XIII, pp. 24 et 90. Cependant le savant rédacteur des Xouvelles Annales ne semble pas avoir 

 aperçu la corrélation intime qui existe entre ces fonctions et le rapport anharmonique, au double 

 point de vue de l'Analyse et de la Géométrie. 



