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SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 



Nous allons maintenant nous occuper, d'une façon plus spéciale, des 

 fondions «, /3, y, et chercher les relations qui existent entre elles. 



On connaît, depuis longtemps, les relations qui existent entre les rapports 

 anharmoniques du second ordre, a,, a.,, a^, a„ a,, g,, relations qui peuvent 

 se déduire de l'équation (30). 



Elles résultent, d'ailleurs, de l'identité 



a — â (3 — (? y — <? 

 1 1 1 



« |5 r 



= 0. 



Pour le troisième ordre, on peut également écrire le déterminant, identi- 

 quement nul. 



a — u (3 — CT y — a (? — u 

 a — f (3 — e y — f â — e 



1 



r 





En le développant, par le théorème de Laplace, on trouve : 



(a-o)(|3-f)(^-y) — (p_t.)(2-f)(rJ-,.)-H(a-,î)(y— f)(p— ^)_(r_„)(a_f)(j3_^) 

 + («-u)(,^— f)(y— f) — ((?-t:T)(«-f)(r— (3) -+- (S— o)(7--f) (a— <J) - {r—u){p—e){a-S) 



ou, en remplaçant «, /3, y, â, p, c>, par les symboles 1,2,3,^,5,6, 



(I G) (25) (34) - ( 1 5) (2G) (45) + (16) (24) (35) - ( 1 S) (24) (36) 

 -1- (10) (45) (32) — (15) (52) (40) -+- (14) (26) (5o) - (14) (25) (56) 

 -+- (13) (26) (54) - (14) (46) (S3j -h (12) (56) (54) — (12) (55) (64) = 0. 



Cependant, il existe d'autres relations, plus simples, que nous avons eu 

 déjà l'occasion de publier. 

 On trouve, par exemple, 



(12)(34)(56) + (14)(56j(52) + (16)(32)(54) = (14)(52)(56) -4- (I2)(36)(54) -»- (16)(34)(52), 

 [(12)(D4)(56)][(14)(3fi)(52)][(16)(32)(54)]=[(14)(52)(S6)J[(12)(36)(54)][(lC)(34)(52)]. 



