SUR LES FONCÏIOINS X„. 5 



Afin de rendre plus commode celle formule, je pose 



xcosç := pcose, sin(p = psin9. 



Elle devienl 



2"+' £ 



fXJx = /''^p"+'oos"^'(p.cos(w -H 1)9.<i(p (6) 



Il résulte, de celle égaillé, 



y z"+' r XJx=-y^ -^ /"■'p"+'t-os-'(B.cos(n-t- 1)9.rf(p. . . . (7) 



Orilinairemenl , quand il s'agit de sommei- une série convergente dont 

 le terme général est «„y'^V,/te, on emploie la formule 



c'est-à-dire que l'on intervertit rordre des signes l, f. Dans le cas actuel, 

 on ne peut procéder ainsi. En effet, si Ton écrit, au lieu de l'égalité (7) : 



^ ;:"->-' r X„f/,r=- - / ' — V" 5 LL_^ cos"+'cpcos(« + l)e, 



n 



la série placée sous le signe 2 peut être divergente (*). Il est donc essentiel 

 d'employer une expression de f'\,jdx, autre que la précédente (**). 



4. Nouvelle expression de f'X„dx. Pour la trouver, j'emploie les rela- 

 lations 



1 r(/X„^., (/X„._ 



x„ = 



rdKii rfx„„n 



id^ dx y '*' 



2n -f- d L rfx dx 



"2)1 -t- 1 dX, 



X„+.-X„_,= - ix'-i)^{"') (9) 



n(n -H I) dx 



(') Elle l'est si 2p: surpasse l'unité, c'est-h-dire si p et ^ diffèrent peu de cette limite. 



(") Après avoir été arrêté par eetle petite difficulté, j'ai su|)posé que le facteur 2"''"', cause 

 de la divergence , provenait d'une faute de calcul. Mais il n'en est rien : les formules (6) et (5) 

 sont exactes. 



("') M, 9. 



