ET SUR QUELQUES Ii>iTEGRALES DEFIINIES. 57 



est une série aussi simple que (a première. Ce résultat nous semble remar- 

 quable (*). 



52. Valeurs des coefficients H,, IL, Hj, Le calcul direct donne 



G, = 6(l+(r, G. = (i{\ -^- l)-{\ -^ il), G: = G(I ^- ()'(l -1- I2« -f- 20<-), , 



donc 



H, = 3, H-, = 5(1+40. H: = 3(l -+- 1-2? H- 20«'), 



Il se complique bientôt; mais la loi des polynômes G,, est la même que celle 

 des polynômes G^,. 

 En elTet, la formule 



r.,= 2T, + 5V, + T,^, (79) 



équivaut à 

 ou à 



G,= [(( + /.^)(21V_, + 5Ï, 4- V,)]'. 



OU enfin, à 



G, = [(l + ?^)G,_,]'. . . . (84) 



53. Remarques. — I. De cette relation, on déduit celle-ci : 



H„=(l +4(,H„.,, +(^ + OHp-,, (83) 



laquelle peut servir au calcul des polynômes 11^,; mais il est plus simple 

 d'appliquer les formules (84) et (82). 



II. Si / = 1, l'équation (83) se réduit à 



■^^ 'V{p -i-1) L -, 'r(/)+l)J 



Pour cette valeur de t, le second membre devient - — — j (17). 



(*) Il a quelque analogie avec la célèbre f'oinuile de Jacûbi : 



H —q- — <l' + q"> -»- g" -...)= = 1 — 5q' -+- Sq^^ - Iq*' H 



{Recherches sur quelques produits indéfinis.) 



