ET SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 2a 



33. Autre expression de T^, en intégrale définie. Des formules (8) 

 et (63), on conclut 



2 ^ÎT 



Tp = -r(p -I- I)y psin/)9.Ap.r?9, 



^ 



en supposant 



Ap^sino + (psin2o + r'ysinôo h- ■• • -+- U' 'p"-' ai ii po. 



Mais, par une formule connue (que Ton pourrait déduire du calcul pré- 

 cédent) : 



"^ 1 — 2«pcosO + «V ^ 



Conséquemmeiit, 



Tp = -r(p+i)/ p ^—^^^ '- -^ ^sinp(prf<p. . . (G4) 



7r i/ 1 — 2(pCOS6 + If 



36. Remarques. — I. En appliquant les formules (63), (64), on ne 

 doit pas oublier que 



pcos9 = e"''''cos(sin(p)— I , psinO = e"'?sin(sin9), (61) 



etc. 



pose s = Oj elles deviennent 



X m 

 siu"' — cos — (T -t- X) 



^m(o»j = _ 2">+"r a-+- l)cos 3- / dx, 



V 2 t/ a;"'*"' 







/'" X m 

 sin™ — sin — (r 

 2 "2 

 



_... ' -sin — (r-t-x) 

 1 a + I / 2 "2 



A"'(0»)= _ a^-t-TiaH- l)sin t / dx. 



a: 2 t^ a?'+* 







Or, COS — j— TT est /(«i lorsque a est /)«('»■; sin — - — tt est ««/ lorsque a est impair; donc ces 

 égalités sont inadmissibles. 



{') Pour vérifier cette formule, évidente lorsque p^i, il suffit d'employer l'identité : 



«'p=sin(n-t- 1)0 — <prsin(p-t-2)0-t-sin))9]-4-slii(p-«-l)0 

 sin (p H- 1 )0 = -i ^^ Lt — 1£ ; £_J _1î: L- 



l -2<pcos'.'-t-lV^ 



Tome XLIII. 4 



