26 SUR UNE SUITE DE POLYNOMES ENTIERS 



II. Nous avons trouvé, précédemment, 



2 C sin(sin(p) . 



T — -rCD-f-ll / ^^ ~ sinwœfto. . (40) 



^^ j:^' ' J (1 -i-f)^"?- 2((1 -+- «)cos(sin9)-+- JV°'? '^^ 



Dans la première expression, le coefllcient de sin^j^f/y est 



e'°''f sin (sin 9) — <''p''+' sin (p -4-1)0-4- f+'p'^'sinpo 



\ _ 2«[e"^i'cos(sin9) — 1] + f[é"°"^ - 2e""?cos(sin9) -^ 1] 



sin(sin9) — (''p''+'e-"'ysin(/) -+- 1)0 + P+V+V^ysinpo 

 ^ (1 -+- ()V"'?— 2f(l -1- «)cos(sin9) -*- /V"'? 



Ainsi, au lieu de la formule (64J, on peut adopter celle-ci : 



2 /"^sin(sin9) - ff+'e-""f^in{p + 1)0 + «''+'p'^'e""'''sinp« • , ,pf;^ 



T pi't) -H n / ^ ^' L ^^ !— siiiMmrfœ. (G5) 



i,_-Hp -h i)y ^^ _^ ^jV-^?- 2^1 -t- Ocos(sin9) + «V"? 



Il en résulte, par la comparaison avec la valeur (46) : 



/' 



<psin»e — sin(» -t- 1)0 . , . ,„„, 



.J.-1-1 l '- -^ — sin»9a9 = 0( ). . . . (60) 



P i\ + f)'— 2«(1 + t)e'°'nm{sm<i?) -i- «V'°=f 



VI 



APPLICATION AUX NOMBRES DE BERNOULLI. 



37. Première expression de B,,_,. Suivant la définition de Lacroix (**), 

 le (^|) — -ij^n"' nombre de BernoulU, Bp ,, est le coefficient de n, dans le 



(*) Le calcul précédent a été effectué de diverses manières : il y a donc lieu de croire que la 

 dernière formule est exacte. Néanmoins, il me paraît difficile de la démontrer a priori, 

 même si l'on suppose ;) = 1 , ( = 0. 



(**) Il y a, aujourd'hui, au moins quatre définitions différentes des Nombrea de BernoulU; 

 c'est pourquoi, afin d'éviter toute équivoque, j'énonce celle dont je continue à faire usage. 



