ET SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 31 



Or, /) étant pair, 



sin(T — a)sin(pT — /)a) = — sinasinpa; 



etc. 



VII 



PROPRIETES DES POLYNOMES Tp. 



43. Première propriété. 1° L'éqiiaiion T,, = a toutes ses racines réelles ; 

 2° ces racines , comprises entre — 1 et 0, sont séparées par les racines de 



T.- = 0(7 



Considérons l'équation T3 = , ou 



Gf -H 6< -H 1 = 0. 



Les deux racines, — a el — b, sont : \" réelles; 2° comprises entre — 1 

 et 0. Conséquemment, les quatre racines de Féquation 



(«'-+- «)(C«'-t- 6« + 1)=0 



jouissent des mêmes propriétés. 

 Cela posé, on a 



T^=[(«2-f-«)(6''-*-<>«+ 1)]'; (17) 



donc, par le théorème de Rolle, les quantités — \,—a, — b, G séparent 

 les racines de T-, = : ces trois racines sont réelles. Le raisonnement est 

 général; ainsi la proposition peut être regardée comme démontrée. 



44. Deuxième propriété. Si p est pair, Tp, T^', Tj;, sout divisibles 



par 2t + 1 ; et, si p est impair, T^, T^', T^, so)it divisibles par ce 



binôme. 



(*) Celte théorie csl tonte semblable à celle de l'ëqualion X„ = 0. (Mémoire svr les fondions 

 X„, (le Legendre, p. 51.) 



