ET SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 35 



45. Troisième propriété (*). Pour t = — 1 , Tp = =f 1 , selon que p 

 esl pair ou impair. 



De réquation 



T, = ((^ + (iT,_. ^(2/+ l)V., 



on conclut encore, en faisant t = — 1 : 

 Or, pour cette valeur de ^, T., = — 1 ; donc 



T = + I, Tj=— I, elc. 



46. Remarque. Celte propriété peut être ainsi énoncée : 

 Le reste de la division de T,, , par t-h \, esl ± \. 



47. Quatrième PROPRIÉTÉ. Si — k, — 1 sont deux racines quelconques 

 de Tp_, = 0, on a 



/-'T^dl = 0{'-) (75) 



Cette formule résulte, immédiatement, de l'égalité 



T,= [(7 + (^)T„_,]' (17) 



48. Remarque. On a aussi, à cause du facteur t -]- l' : 



/"T//< = 0, (76) 



pourvu que p surpasse Tunité. 



49. Cinquième propriété. Les racines de l'équation Tp = sont conju- 

 guées deux à deux, de manière que leur somme égale — 1. 



Soit Z^ ce que devient T^ quand on fait / = — | + -. 

 L'égalité (17) se transforme en 



z„ = [(r'--£)z,_,y. 



(*) Indiquée ci-dessus (p. 18). 



(**) Nouvelle aiiiilogie entre les polynômes '[\ et les fonelioiis X„ {Mémoire sur les funclions 

 X„ de Legeiidre, ji. 44.) 



Tome XLIII. » 



