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SUR UNE SUITE DE POLYNOMES ENTIERS 



par X, et en prenant les dérivées, 



(xj/p)' = 1"+' -t- âP+'x + ô"+*x'' 



ou 



,(/„+, = (x/y,,)' (*). 



Par suite, à cause de la formule (3) : 



^p+i 



(I -X] 



ou, après quelques simplifications. 



"- L(i — x)''+'' 



P,^, = (;jx+ l)lV + (x-x')^^ 



6. Remarque. Si x=\, cette égalité se réduit à 



p„+. = (/> + i)P,-; 

 et celle-ci démontre l'une des propriétés énoncées (1). 



7. Pour vérifier Pautre, supposons 



p =\ -^- ax -\- bx^ -+- ex' -h lix' -•-.••-♦- dx''-^ -+- fx'-* -+- bx'-' -+- «x'-' -t- x"* 



puis appliquons la formule (15). Il en résulte 



(15) 



;i4) 



(lo) 



W'-' -1- r'' 



Donc, la propriété dont il s'agit, admise pour P^, subsiste pour P^_^,. 



(') Équalion aux difl'érences mêlées. 



