ET SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 11 



13. Autres identités. Dans le Mémoire cité en note, nous avons donné 

 la relation générale 



M, — Aî<, + A'«, ±A'm, = Mo ±A*-i-'»„, (21) 



dont la démonstration est aussi simple que celle de la formule (19). Il en 

 résulte, en particulier, 



l'' = A(I'') — A-'(l'")-H A'CI") ±A''(1'')0 (22) 



III 



FONCTIONS GÉNÉRATRICES. 



\A. Fonction génératrice de t/p. Soit 



Ordonnons le second membre suivant les puissances de « (***)• 



i° Le coefficient de «"est 1 + a: -+- x' -i- =2/o; 



2» » » » a' » a; -+- 2x^ -»- ôx' -+- = a-y, ; 



La"- ^ 1.2' 



En général, le coefficient de a^esl -fY^—- 



(*) Le dernier terme est négatif quand p est pair. 



(**) On suppose, bien entendu, le module de e^x inférieur à 1. 



(***) Question proposée dans la TV. C. M. (t. VI, p. 192). Si l'exposant « est positif, ainsi que 

 X, le second membre, développé, a tous ses termes positifs. Donc, d'après un tbéorèrae de 

 DiRicHi.ET, on peut les grouper arbitrairement. Dans les autres cas, la même conclusion sub- 

 siste, à plus forte raison. 



