40 SUR LES FIGURES D'EQUILIBRE 



peul affecter des ligures d'équilibre différentes de la sphère, ces ligures ne 

 sont pas de révolution, -et sont telles qu'une droite issue de leur intérieur 

 peut les percer en plus d'un point. 



L'existence de ces figures est rendue bien peu probable par le fait qu'une, 

 niasse d'huile entièrement libre au sein du liquide alcoolique, et une bulle 

 de savon isolée dans l'air* prennent invariablement la forme sphérique; 

 cependant, que l'on y fasse attention , ce fait ne suffit pas pour établir d'une 

 manière absolue l'impossibilité des ligures dont il s'agit : car il se pourrait 

 qu'elles fussent instables dans leur état complet, ou bien que, satisfaisant 

 aux conditions mathématiques de la stabilité, elles présentassent des portions 

 de surface qui se coupent, comme cela a lieu, par exemple, à l'égard du 

 nodoïde (4 me série, § 29) ; dans ces cas évidemment elles échapperaient à 

 la réalisation expérimentale avec une masse liquide libre de toute adhérence 

 ou avec une lame liquide également libre. 



Ajoutons que ces mêmes figures ne doivent point être cherchées parmi 

 les surfaces à courbure moyenne nulle. En effet, une ligure fermée est né- 

 cessairement telle qu'on peut concevoir un plan qui lui soit entièrement 

 extérieur et ne fasse (pie la toucher; or il est visible qu'au point de contact 

 ou en tous les points de la ligne de contact, aucun des rayons de courbure 

 de la surface ne peut être dirigé de l'autre coté du plan : car cela suppose- 

 rait, au point auquel appartiendrait un semblable rayon, une courbure con- 

 cave vers l'extérieur, et dès lors une portion de la figure serait aussi de 

 l'autre côté du plan; la ligure supposée a donc nécessairement des points où 

 tous les rayons de courbure sont dirigés vers son intérieur, et conséquem- 

 ment ne peut satisfaire à la condition qu'en chacun de ses points les deux 

 rayons de courbure principaux soient de signes contraires. 



§ 40. Occupons-nous actuellement des recherches qui ont eu pour objet 

 l'intégration générale de l'équation des surfaces à courbure moyenne nulle 

 et les résultats qu'on pouvait en déduire. 



Monge a intégré le premier d'une manière générale ' l'équation dont il 

 s'agit, c'est-à-dire l'équation \ -f jf — » mise sous la forme différentielle, 



i Sur le calcul intégral des équations aux différences partielles (Mem. de i.'Acad. des sciences 

 de Paris, 178V, p. 118). 



