10 SLR LES FIGLRES D'ÉQUILIBRE 



C'est l'équation d'une sinusoïde, el l'on voit que les points où, après avoir 

 quitté l'origine, la courbe va de nouveau couper l'axe des abscisses, sont à 

 des distances de l'origine successivement égales à 



C V 2 " ' C V 2 



Or la seconde est évidemment la longueur d'une portion de l'onduloïde com- 

 posée d'un renflement et d'un étranglement; en la désignant par L, nous 

 aurons donc 



C V 2 



point. » et nul et p ne lest pas*; aux environs de ces mêmes points donc, le terme 2Cpty, 

 quoique très-petit en lui-même, es. très-grand par rapport au terme 2Cy, et conséquemment 

 ne peut être supprimé à côté de celui-ci; cette suppression n'est légitime qu'a 1 égard des par- 

 ties de la courbe assez distantes des points en question pour que p soit au moins du même 

 ordre de petitesse que y; ainsi l'équation [4] ne représente la ligne méridienne de l'onduloïde 

 peu éloigné du cylindre que dans les parties dont il s'agit. 



Cela est vrai; mais il est aisé de montrer que l'étendue des port.ons dans lesquelles la courbe 

 n'est pas suffisamment représentée par l'équation [4-] se resserre de plus en plus et converge 

 vers zéro, à mesure que l'onduloïde se rapproche du cylindre, de sorte que tout résultat tire 

 de cette équation, pour le cas où les deux figures coïncident, pourra être regarde comme 



rigoureusement exact 



Pour cela, élevons une ordonnée par un point de l'axe des abscisses pris a une distance très- 

 petite « de l'un de ceux où cet axe est coupé par la courbe; nous formerons ainsi un petit 

 triangle dont les cotés seront l'ordonnée en question , la longueur , et un arc de la courbe arc 

 qui, à cause de sa petitesse et, si l'on veut encore, à cause de son voisinage d'un point d in- 

 flexion, pourra être considéré comme rectiligne et dirigé suivant la tangente au pomt situe a 

 l'extrémité de notre ordonnée; on aura donc, pour ce point, sans erreur sensible, p = - y; d ou, 

 en divisant de part-et d'autre par >j et multipliant par p, on déduit Z-=- P - Supposons main- 

 tenant que, « demeurant constant , l'onduloïde se rapproche de plus é*n plus du cylindre, ou , ce 

 qui revient au même, que notre courbe tende de plus en plus a se confondre avec l'axe des x : 

 alors dans la formule ci-dessus, p diminuera en même temps que y, et deviendra aussi minime 

 qu'on le voudra; conséquemment, quelque petit que soit «, c'est-à-dire quelque près que Ion 

 se place de l'un des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses, pourvu que on 

 en demeure à une distance Unie, on pourra , en faisant converger l'onduloïde vers le cylindre, 

 rendre aussi petite qu'on le voudra la quantité ± p , et, par suite , son égale j, de manière que, 

 dans l'équation [2] , le terme Kjfly puisse être négligé h coté du terme 2Cy ; on arrivera donc 

 toujours, comme je l'ai dit, à faire descendre au-dessous de toute valeur fin.e donnée quelque 

 petite qu'elle soit, la longueur des arcs pour lesquels les courbes des équations [2] et [4] diffe- 

 rent notablement. 



