44 SUR LES FIGURES D'ÉQUILIBRE 



le second s'appuie un étranglement; nous pourrons alors parlager, par 

 des sections de même diamètre que les disques, la figure en un nombre 

 entier de parties égales contenant chacune une portion renflée et une por- 

 tion étranglée; seulement, par suite delà non coïncidence entre Taxe de la 

 sinusoïde et la génératrice du cylindre, on comprend (pie, dans chacun des 

 couples ainsi formés, la portion renflée ne constitue pas un renflement com- 

 plet, et qu'à l'extrémité de la portion étranglée s'ajoute le commencement du 

 renflement qui la suit. Or tous ces couples étant égaux, et ia somme de leurs 

 volumes représentant le volume total de la masse, il s'ensuit que le volume 

 de chacun d'eux est égal à celui de la portion du cylindre primitivement 

 comprise entre les mêmes sections; il suffira donc, pour établir que le vo- 

 lume loto! n'a pas changé, de chercher l'expression du volume d'un couple, 

 et de l'égaler à celle du volume de la portion correspondante du cylindre. 



Mais on peut substituer au couple en question un autre couple terminé par 

 deux sections ayant pour rayon la dislance r— y. de l'axe de la sinusokle à 

 l'axe de révolution, sections dont la première passe par le point où naît un 

 arc. convexe, et dont la seconde passe par celui où finit l'arc concave suivant; 

 on voit, en effet, qu'en agissant ainsi, on ajoute une petite portion à la pre- 

 mière extrémité du couple considéré d'abord , mais qu'on retranche à l'autre 

 extrémité une portion identique. Ce nouveau couple se composera ainsi 

 exactement d'un renflement complet et d'un étranglement complet, et se 

 prêtera sans difficulté au calcul. 



L'expression générale du volume d'un corps de révolution terminé à deux 

 sections perpendiculaires à l'axe, est, comme on sait, njifdx. Pour l'ap- 

 pliquer à notre couple, il suffira d'y remplacer y par la valeur que donne 

 l'équation [1]; on a de cette manière : 



r ffd, = , r(r-,-./3sin^x)^ = ,j[( ) --.)^f]--Ç('--P)» s r- 



an -in ) 



— si n — x > 

 4t / S 



Prenons maintenant cette intégrale entre les limites du couple en question, 

 c'est-à-dire de x=o à x=%; nous obtiendrons 



-ItÀ \ (r - y-f h- '- 



= IWI -+- -/ ( V - 4»-," + P 



