TRACÉES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. 2S 



Mais on a immédiatement 



cos(p,, TJ = cos(p,, P) sine, c.os(<? ( , T 2 ) = cos(J,,P)sino, 



et, comme on Ta vu, cosfp " P) , cos( !" P) , ne dépendent que des longueurs cl des 

 angles des lignes tracées sur la surface. On peut donc énoncer le théorème 

 suivant : 



Si l'on considère, sur une surface quelconque, deux systèmes de courbes 

 quelconques, et si, en chaque point, on divise le cosinus de l'angle de leurs 

 rayons de courbure par le produit de ces rayons, et le cosinus de l'angle de 

 leurs rayons de déviation par le produit de ces rayons, la différence 



cos(p l , pt) -_ cos(<y,,(y,) 



0,0.2 cF,<Jj 



de ces rapports reste invariable dans les déformations de la surface. 



Il est bon de remarquer que, si les lignes c, et c s sont orthogonales, la 

 différence ci-dessus se réduit à 



cos(p,,N) c'os(/jj,N) cos(<?,,N) cos(c? 2 , N) 



Pi ?! * t <?5 



qui n'est autre chose, d'après une formule donnée précédemment, que =^-,. 

 Notre théorème renferme donc celui de Gauss sur l'invariabilité de la mesure 

 de courbure. 



Effectuons maintenant, dans la relation trouvée plus haut, la substitution 

 des valeurs de =&**> et^^. II viendra 



* 



rcos(p lsPi ) cos(<?„ J,)-] /sineds,\ /sinerfs,\ 



(1<S)- . \ds i ds i = d I \ — — I — «î — — I -h «i«.-.cos9. 



L PiPi <r,5j J \ </, / \ iji I 



Appliquée aux lignes de courbure de la surface, pour lesquelles on voit 

 immédiatement que c --^-^ est égal à — , et cos [è i} <£,) à zéro, cette équation 

 se réduit à 



R'R" *\cjj l \g t 



