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NOTE II. 



L'équation 



1 cos 2 iz siu 2 J 

 ÏÏ == ~W* + R" r ' 



du § I l'ail voir que si, à partir d'un point d'une surface, on porte sur les tangentes aux 

 sections principales, des longueurs égales aux rayons de courbure correspondants IV et R", 

 et si l'on construit sur eus longueurs connue demi-axes une ellipse, le rayon vecteur de cette 

 ellipse suivant une direction quelconque est égal à r, , et mesure la flexion de la surface sui- 

 vant celte direction. 



M. Lamarle, qui avait déjà rencontré celte ellipse, sous un autre point de vue, dans ces 

 études sur les surfaces {Expose géométrique (la calcul différentiel), a proposé de l'appeler 

 seconde indicatrice: elle dérive en effet de l'indicatrice, en remplaçant les axes de celle-ci 

 par leurs carrés. La propriété dont elle jouit, relativement à la flexion, montre de nouveau 

 son utilité dans la théorie des surfaces. 



Mais mon but, ici, est simplement de déduire des relations qui existent entre les deux 

 indicatrices et des théorèmes sur la flexion établis dans le Mémoire qui précède, quelques 

 propriétés curieuses des sections coniques. 



Remarquons, d'abord, que les rayons R' et R" peuvent avoir des grandeurs quelconques, 

 et supposons qu'ils soient positifs. 



Étant donnée une ellipse E, construisons une seconde ellipse E' dont les axes aient les 

 mêmes directions que ceux de l'ellipse E. et soient respectivement moyens proportionnels 

 entre ceux-ci et une longueur donnée : 



I. Le parallélogramme construit sur deux diamètres quelconques de l'ellipse E est 

 équivalent au parallélogramme construit sur les axes de cette ellipse, assemblés sous au 

 angle égal à celui (pie forment , dans l'ellipse E', les conjugués respectifs de ces deux dia- 

 mètres. 



Ce théorème résulte de l'équation 



r,i- 2 sinO = K'R" sin i, (§ I), 



en remarquant que si est l'angle des demi-diamètres r, ci r., dans la seconde indicatrice, 



l est celui de leurs conjugues dans la première indicatrice. C'est une généralisation d'une 

 propriété connue de l'ellipse, car 



II. Lorsque deux diamètres sont conjugues dans l'ellipse E, leurs conjugues respectifs dans 

 l'ellipse E' se coupent èi angle droit. 



En effet, a, a', etc., étant les angles définis au g 1 , l'équation 



R"- 

 langa. lang =-— . 



