26 SUR LA THEORIE GENERALE DES LIGNES 



el l'on en tire facilement l'expression de la courbure totale d'une portion de 

 surface limitée par une courbe fermée. En effet, décomposons la surface en 

 rectangles infiniment petits, par ses lignes de courbure, et intégrons les 

 deux membres de l'équation dans toute l'étendue de la portion de surface 

 dont il s'agil. Nous aurons 



frg-fMÎ)-fA<£ 



On voit tout de suite, eu égard aux signes des éléments ds l} ds. 2 , que le second 

 membre n'est autre chose que l'intégrale 



-/(£ 



/.Si ds t 



étendue à tous les points de la courbe fermée. Or, nommons S l'angle sous 

 lequel cette courbe coupe les lignes c,, et — son angle de contingence géo- 

 désique: nous aurons, d'après une formule connue (Voir Note /"'"), 



ds (h, ds., 



do 1 \- — = v . 



9 <h 9* 



el, par suite, 



/7 , *A./i,_/ , *_ Jf _/ , * 1 



JJ R'IV J J g J g 



ce qui est la formule de M. Bonnet (*). 



Considérons, en général, deux systèmes de courbes se coupant sous un 

 angle constant 6; le second membre de l'équation (18) se réduit à 



-[* (?)-*£ 



et il suffit de comparer cette expression à l'équation (8), pour voir que l'on a 



COS (p, , /:._,) COS (S, . <?j) shrtf 



plfij fiiiïz R'R 



(•) Mvm. nié, p. 151. 



