TRACÉES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. 27 



Donc : Si Von trace sur une surface un système de courbes quelconques, et 

 leurs trajectoires sous un angle constant quelconque B, et si, en chaque point, 

 on divise le cosinus de l'angle de leurs rayons de courbure par le produit 

 de ces rayons, et le cosinus de l'angle de leurs rayons de déviation par le 

 produit de ces rayons, la différence de ces rapports égale la mesure de cour- 

 bure de la surface au même point, multipliée par le carré- du sinus de 

 Vanyle 0. 



Enfin, si nous appliquons l'équation (18) à un double système de lignes 

 géodésiques de la surface, nous obtiendrons la relation très-simple 



cos((f„<%)-| II, 



r cos(pi,fe) _ COS ((?„<%)! 



L P1P2 sa J 



Intégrons les deux membres de cette égalité dans toute l'étendue d'un 

 quadrilatère ABCD, compris entre deux lignes du système c, el deux lignes 

 du svstème c. 11 viendra 



rr m{ »> *W ,- rr cos t' *> «m*. 



1/1/ p,p 4 JJ V J . 



(cosA -1- <•!>>!! + cos C -1- cosD), 



A, B, C, D, représentant les angles du quadrilatère. Cette relation nous offre 

 un nouvel exemple d'une intégrale double, étendue à tous les éléments super- 

 ficiels compris dans l'intérieur d'un contour fermé, et dont la valeur s'obtient 

 sous une forme très-simple. 



Si nous supposons qu'il s'agisse d'une surface réglée, et (pie l'on prenne 

 pour lignes géodésiques c, les génératrices rectilignes, - sera nul; donc 



/"/* cos (<?!,<?,) 



/ / — - ds.ils., = eus A -+- cos B -+- cos L -+- cos 1). 



JJ iA 



§ VII. 



Les formules qui concernent la déviation vont nous conduire encore, par 

 une voie simple et commode, à diverses relations remarquables, soit entre les 

 variations de l'angle de deux normales infiniment voisines à une surface, 

 Tome XXXVII. 5 



