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SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES LIGNES 



Fig. 7. 



soit entre les variations des courbures normales et des torsions géodésiques 

 des systèmes de courbes, que l'on peut tracer sur la surface (*). 



Soit (N, X) l'angle que fait la normale extérieure à la surface, avec une 



direction invariable OX. On a tou- 

 jours, pour des déplacements infini- 

 ment petits M 31, , 313L, sur les lignes 

 coordonnées, 



(/.//, cos (N, X) = (1,(1-2 cos (N, X). 



Or, si nous menons, dans le plan 

 tangent, 3IC,, tangente conjuguée de 

 3IT,, et 31 L, perpendiculaire à 3IC, 

 (fig. 7), en nous rappelant que le plan 

 qui passe par la normale en 31 , et 

 une parallèle à la normale en 31,, 

 est perpendiculaire à 3IC, et coïncide avec le plan N31L,, nous aurons 



rf,cos(N,X)= — cos(L„X). 



De même, 3IC, étant la tangente conjuguée de 31ï„, et ML, perpendiculaire 

 à 31G,, 



dSt 



(I, cos(N,X) = — cos(L 2 , X). 



L'égalité ci-dessus devient donc 



cos(L„ X) rf s I — ) + ' - (I, cos(L„ X) = cos(L, X) d, ( — 



; (/, cos(L 2 , X). 



Pour exprimer rf a cos (L,, X), observons que si Ton mène en 3I 2 la tan- 

 gente qui correspond, pour ce point, à la tangente ML, au point 31 (**), 



(*) Ce paragraphe fait partie des recherches, présentées à l'Académie dans sa séance du 

 i " février. ■ 

 (**) C'est-à-dire une perpendiculaire à la tangente conjuguée de la tangente en M 2 à la ligne 



c,, qui passe au point M.. 



