TRACÉES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. 31 



Si l'on avait fait coïncider la direction OX avec ia tangente MT 2 , on aurait 

 trouvé, semblablement, 



, lds { \ . v , (ds t \ , , fcos( f! — e)/l d fi 



„ dl (-l)_«n( ri -,)rf i y-*A[-^-( s --H 5; 



pos( ?1 — 8)/] d (?! — ») 



i 



( h ils. 



.Mais on voit sans peine que ces relations peuvent prendre la forme sui- 

 vante : 



1 f, ) \ r, I ' [_ (/,'••> r, \(j, ds.,1 J 



rsin ( ?1 — 6) t/.sq r sinÇy;— 9jds»~l r cos( fi — 9) /^ ^ de\ cos( ?1 — eh 



2 L r, J 'L r 2 J ' 'L »\. W. rfsi/ </ 2 r, J 



Enfin, ces dernières elles-mêmes peuvent être transformées, si Ton y 

 remplace — , -"--, etc., par les valeurs que fournissent nos équations (11). 

 On parviendra ainsi aux formules intéressantes que voici : 



[ds,\ IcosedSil /sineds,\ , , / 1 cose sine 1 de 



(h hr- — d, „ ■ " ) H-'/i " =r/.s,r/^ 



k R,/ '\ H, / V y, I \nff« S'M '/i l: 2 ?'i ds : 

 (21 U 



1 /cosedsA , /rf»»\ , /sineds,\ , /cose I sine 1 de 



d, - - — d, — - + d. =ds,ds s — j- 



I \ R, / \R»/ \ r, / \r,<jf. ,</,r, y.R. r-i as, 



Ces relations, d'une généralité remarquable , ont lieu pour deux systèmes 

 quelconques de lignes tracées sur une surface quelconque. 



Lorsque l'angle 6, sous lequel se coupent les lignes coordonnées, est 

 constant, les équations (21) se simplifient, et deviennent 



d. Sl \ , (dsA . IdsA l ! coso sine 



-I— cosflrf, - -t-sined, ■ -I =a*,o8, - — 



R,/ \R./ \W Vifl'i .'/ir* </<Rj 



eosod, — - — d, - -+- sine a, — - = ds 1 as ! • -^r 



Effectuons les dilïérenliations indiquées dans les premiers membres, divi- 



