TRACÉES SLR UNE SURFACE QUELCONQUE. iô 



lient le rayon et le centre de courbure qui correspondent à ce. point, lorsque 

 l'on remplace la longueur p du premier, par - . Or, on sait que le rayon de 

 courbure d'une courbe MN est égal, en négligeant une quantité infiniment 

 petite, à ~, et qu'il est parallèle à PN. La même construction s'appliquanl 

 aux courbes MN',..., il est visible que les courbures sont proportionnelles 

 à PN, PN',..., et le lemme est démontré. 



Cela posé, soient S et S' deux surfaces qui se coupent suivant une ligne 

 MM' [fig. 9); MP la tangente en un point M de cette ligne; MN, MN' les 

 intersections respectives des surfaces S et S' par deux plans quelconques, 

 passant par la tangente MP. Menons par le point P un plan normal à MP, et 

 coupant en M', N et N' les trois courbes dont il s'agit. PM', PN, PN' sont 

 respectivement parallèles et proportionnels aux rayons inverses de courbure 

 des lignes MM', MN, MN' ; et les droites NM', N'M', situées dans un plan 

 normal à MP, sont en outre, à la limite, respectivement parallèles aux plans 

 tangents, en M , aux surfaces S et S'. 



De là résulte immédiatement ce théorème : Si par la tangente à l'inter- 

 section de deux surfaces, en un point M, ou mène deux plans arbitraires, 

 et que par les centres inverses de courbure des sections qu'ils font respecti- 

 vement, dans ces deux surfaces, on tire, dans le plan normal en M, deux 

 droites parallèles aux plans tangents respectifs de ces surfaces, ces deux 

 droites vont se couper au centre inverse de courbure de l'intersection. 



Il suffira donc de joindre ce point d'intersection au point M, pour obtenir 

 le rayon inverse de courbure de MM'. 



Quand les deux plans menés par la tangente MP coïncident avec les plans 

 tangents aux surfaces S et S', on retombe sur le théorème de Hachette. Il est 

 bon de remarquer que le lenune ci-dessus fournit aussi une démonstration 

 très-simple du théorème de Meusnier. 



On peut encore concevoir que les deux plans, menés par la tangente iMP, 

 se confondent en un seul : MN, MN' sont alors les sections des surfaces S 

 et S' par un plan, mené arbitrairement par la tangente MP, et la con- 

 struction précédente ne cesse pas d'être exacte. Donc si l'on mène, par la 

 tangente en un point M de l'intersection de deux surfaces S et S', mm plan quel- 

 conque, et par les centres inverses de courbure des sections qu'il détermine 

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