DE BERXOULLI ET D'EULER. 9 



donc 



/"" r.r»- 2 -4- 7r"" 3 -4- Sz»-' -4- 5z"- ; ' -+- .. -4- ô-_ | 77* t: 



— -fa<fe=--^-. . (C). 



f 



1 -4- s + z* + . . 



Cette formule, qui en donne une infinité d'autres, n'est encore qu'un cas 

 particulier : en remplaçant, dans (A), e lx par y=, on trouve la relation géné- 

 rale 



/ 



(I— z) s (4 -4-7Z+ 4z s ) , 



' _ '-lzdz = — x*tg t x (D). 



Celle-ci subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre et i. On 

 en trouverait d'autres, aussi générales, en différenciant ou en intégrant par 

 rapport à x. Enfin, l'égalité 



T (i ~", (4 ' 7 r.y ) —-« -*<.*». - '.=•) r> 



1 -+- r -+- z- -+- . . ■+- ; •"i=o 



conduit à un développement de (~ Uj l)\ assez remarquable. Je laisse de côté 

 ces détails, afin de passer à un autre sujet. 



IX. Si l'on suppose 



=y — ■ x'- n (m). 



on trouve 



E„= 1, E,= 1, E 4 = 5, E 6 = 61, E f = 1585, ... 

 puis (*) 



2m (2n — i) 2m (2m— \ ) (2m — 2) (2w — 3) 2/i (2m — t 



Les nombres entiers E sont appelés, par M. Sylvester, Nombres d' Exi- 

 ler (**). De la relation (17), on conclut qu'il sont impairs (***). On peut 

 représenter E 2 „ par une intégrale définie. 



(') Comptes rendus, t. LIV, p. tOââ. 

 (**) Comptes rendus, t. LU, p. 161. 



(***) La démonstration est plus simple que pour les nombres P (Comptes rendus, t. LVI1I. 

 p. H08). On vérifie aisément que les Nombres d'EuIer ont la forme ik -+- t. Cette propriété a 

 été signalée par M. Sylvester. 



Tome XXXVII. 2 



