12 SUR LES NOMBRES 



D'après l'équation (16), ce coefficient a pour valeur 



E u Eo„ E* E 2t . _» Eo n E 



r{\)r(-2n+\) r(3)r(2w — i) r(2»n-l)r(i)' 



donc 



P _ ""*" * r(2» i 11 f E ° E "' Ei En.-» E 2 „E„ "j 



4» (w + Lr(i)r(2«-t-i) + r(â)r(2« — i) "* h r(8« + ])r(i)J ; 

 ou, avec la notation des combinaisons : 



P 2 „ + , = ^- [E. E 2 „ -+- C s „, s E 4 E 2 „„, + C,„. , E 4 E ÎB _, + ... - E s . E„] (*) (F). 



2° On tire de réquation (16), en prenant les dérivées des deux membres : 



sin x _,* E,,. 



= > — - — x 2 " ~ ' • 



eos" 2 x -^i T (2m) 



Le premier membre égale (l-\-tg*x)sinx. Par conséquent, si Ton mul- 

 tiplie les deux séries 



*!-9 + EL 2V + ^- 2V + . .. + (2W ~ i)Pi °-' 2 2 "~' x 5 "- 5 + . .. = 1 + /<fx , 



r(3) r(5) r(7) r(2« + i) 



X X 3 X S X" 



± =p . . . = sin x , 



r(2) r(4) r(6) r(2») 



le coefficient de x-"~ l , dans le produit, sera ^. De là résulte la formule 



r(2n) r(2w) r(2») 



E 5 .-(2« 1)2 mr{in ^f^ (-« *)* r(4)r(2«-i) Pî "- 3+ r(2«)r(3) " 



que l'on peut écrire ainsi : 



E 2 „= — 1 — r- [(2«-l)4"-'C J . +lfl P 1 .. l - -(âH-3)i"- i C,. + l . 5 P 1 ._ 3 -4-..±C J . + 1 , Sll _ l P l ](G). 

 ii('2n ■+■ i ) 



(') D'après la relation (F) : t" le nombre entre parenthèses est divisible par 4", et le quotient 

 est un nombre impair; 2" P Sn+ , est divisible par »-»-!. 



