DE BERNOULLI ET DEULER. 13 



Par exemple, 



_4_ 



4.9 



E 8 =-— -[7.4 3 .9. 17 — 5 . 4-. 8i- . 3 -+- 5.4. 126. 1 — 56. 11; 



4 . 9 



ou, en effectuant, 



E 8 = i 585. 



XII. Les relations (F), (G) ne sont pas les seules qui existent entre les 

 Nombres d'Euler et les Nombres de Bernoulli : 1° A cause de 



sin .»• fax „« E 2 „ 



— - = -^— =y — ^— x 2 " - ' (22), 



cos 2 x cosx Ai l r Cin) 



on a, par les formules (46) et (21) 



Y fit x °-« x y" K *-' f2x y>. - ■ = y 



x 2 "-': 



r(2n-+-l) -^, r (2n -4- I ) v ^, r(2») 



donc 



P*.-«E„ „„._, P S „_.,E, _ . P,E 2 „_ 2 



. C)2» - I . "*-■' * Ç)în - 



r(2») r(2n -4- 1) r(i) r(2n— i)r(3) r(3)r(2n — i) ' 



ou 



!■.,„ = - [4'-' P 2 „_, E„ + 4"" ! C, 2 P 2 „_ r , E 2 -t- 4'- 3 C Sl>i , P 2 „_ 5 E 4 + .. + C 2 „, ., P, E 2 „_ s ] (H). 



2° L'équation (22) donne aussi 



y • Pfa - (2*?-'= r — r— x y ( ~ af " - 



*, r (2« -+- i) v " ; * r(2») ■ Ar (2« -t- 1) ' 



et, par conséquent 



p ^-<=^rzil E -2« — C.2„- 1 , 2 E 2 „_. 2 +C 2 „_,, 4 E 2 „_ 4 — ..iC,,.,.,^] . . (K). 



XIII. Dans les relations (G), (K), qui sont, pour ainsi dire, conjuguées 

 l'une de l'autre, substituons, aux nombres P, E, les intégrales dont ils 

 représentent les valeurs. En commençant par l'équation (K), nous trouvons 



1T! P 



« 2M-I 



II 



-J e-'Te^' [( 2 , "- , -C fa - 1 .,(20 s "- î -- .••±C 2 „_ 1 , 1 2«]. 



