„ [INTRODUCTION. 



Parlanl de ces notions, et de certaines propriétés concernant h flexion des 

 surfaces, j'obtiens directement, au moyen de considérations géométriques 

 fort simples, une expression de la mesure de courbure en un point d'une 

 surface, qui se rapporte, comme celle de Gauss, à deux systèmes quel- 

 conques de lignes coordonnées, mais qui s'en distingue par la simplicité 

 el par sa forme géométrique. Celte expression offre cela de remarquable, 

 qu'elle fournit une démonstration immédiate du fameux théorème de Gauss 

 sur le triangle géodésique, et môme d'un théorème plus général dû à 

 M. Bonnet. 



Dans les paragraphes suivants, j'étudie les propriétés du rayon de dévia- 

 lion d'un système de courbes , et en particulier les relations qui existent entre 

 cet élément nouveau et ceux que l'on considère habituellement dans la théo- 

 rie de la courbure des lignes décrites sur une surface. Puis, après avoir géné- 

 ralisé l'expression de la courbure géodésique, en fonction des variations des 

 arcs infiniment petits des lignes conjuguées, j'en fais différentes applications. 

 Parmi ces applications, je signalerai une forme de l'expression de la mesure 

 de courbure, de laquelle se déduisent des résultats intéressants; puis, la solu- 

 tion générale pour deux systèmes de courbes quelconques , d'un problème 

 que M. 0. Bonnet a traité pour deux systèmes de courbes qui se coupent 

 orthogonalement. Ce problème consiste à assigner une condition analytique, 

 à laquelle doivent satisfaire les deux systèmes donnés, pour que la surface 

 soit décomposée en losanges infiniment petits. 



Les §§ VI et VII sont consacrés à la recherche de nouvelles propriétés 

 générales des lignes tracées sur une surface. Celles qui font l'objet du $ VI 

 nous ramènent encore, par une voie indépendante et très-simple, aux théo- 

 rèmes de Gauss et de M. Bonnet. Les suivantes, auxquelles je suis parvenu 

 par une méthode analogue à celle qui m'avait conduit précédemment à la 

 valeur de la mesure de courbure, manifestent de nouveau l'utilité des for- 

 mules relatives à la déviation. On y trouvera des relations fort générales, 



