2 SUR LA THEORIE GÉNÉRALE DES LIGNES 



Menons par le poinl M, la ligne de courbure M,M', et lirons les droites MX,, 

 MN', respectivement parallèles aux normales à la surface en M, et en M' : 

 celles-ci pouvant être considérées comme situées dans un même plan, nor- 

 mal au plan NMM', le triangle N,Nl\' est rectangle en N' (*), et donne 



NN' = NN, cos N,NN'. 



Or, NN, égale ^, el NN' égale ™ ; l'angle en N vaut celui tpie l'ait la 

 normale au plan NMN,, ou la tangente conjuguée de MM, (**), avec la tan- 

 gente à MM", laquelle est normale au plan NMN'. Si donc nous désignons 

 par «, a' les angles que forment respectivement la direction MM, el sa conju- 

 guée, avec la ligne de courbure MM', nous aurons 



cos N,NN" = sina', MM' = MM, cosa, 



el l'équation précédente deviendra 



sina' cosa 



Un raisonnement semblable, par rapport à l'autre ligne de courbure MM", 

 donnerait 



cosa' sina 



( --'' — — «■- 



De ces deux équations se déduisent immédiatement la relation connue 



I COS'a siir'a 



que l'on doit à M. Bertrand, et celle-ci : 



R" 



tan^a (ans; a' = ; 



(*) Pour plus de facilite, nous désignerons ordinairement les directions émanant du point M, 

 par leurs points de rencontre avec une surface sphérique de rayon I , décrite de M comme 

 centre. 



(") On supposera toujours, pour la généralité des formules, que cette tangente conjuguée soit 

 menée vers la région de l'espace, d'où la rotation de J1N vers M N j parait se faire de gauche à 

 droite. 



