i SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES LIGNES 



c'est-à-dire que, en un point donne, le produit des flexions de la surface, 

 suivant deux directions conjuguées, est constant, et égal au produit des 

 courbures principales , ou, suivant l'expression de Gauss, à la mesure de 

 courbure de la surface en ce point; ce qui renferme une proposition due à 

 M. 0. Bonnet (*). On en conclut sans peine que, dans une surface gauche, la 

 mesure de courbure en un point est égale au carré de la flexion, suivant la 

 direction de la génératrice correspondante, propriété connue. 



2° Si l'angle devient infiniment petit, il en est de même de S; on peut 

 remplacer les sinus par les angles dans la formule (3), et l'on a 



I i o 



ou bien 



i i ih. 



V? = IV H" '/-/ 



Donc : Le carré de la flexion en un point de la surface, suivant une direc- 

 tion arbitraire, est égal à la mesure de courbure de la surface en ce point, 

 multipliée par le rapport des déplacements angulaires infiniment petits de 

 eette direction et de sa conjuguée. 



Le carré de la flexion varie donc comme le rapport ^,. 



§ 11. 



Concevons maintenant, sur la surface, deux systèmes de lignes c, et c 2 , 

 qui, se coupant sous un angle variable quelconque 9, partagent la surface en 

 éléments infiniment petits. Si à partir d'un point quelconque M (fig. 2) on 

 prend, sur la courbe c, qui passe en ce point, un arc infiniment petit 

 MM 2 =ds a ; que l'on mène, aux points M et M,, des tangentes aux courbes 

 du système c, qui correspondent à ces deux points, l'angle infinitésimal 

 T 4 MT' de ces tangentes, divisé par la dislance ds a _ des points de contact, 

 mesure la déviation de la ligne c, au point M , suivant MM a . En la représentant 



(') Journal de l'École polytechnique, XXXII e cahier, \>. IN. 



