TRACÉES SUR llNE SURFACE QUELCONQUE. 9 



Substituons maintenant ces résultats dans l'équation («), et observons que 

 l'angle ^ — y, n'est autre que l'angle Ç des tangentes respectivement conju- 

 guées à MT, et à MT a : celte équation deviendra 



sin'Çi/.sy/.S: 

 /■,;■., 



= ( / 2 p^ ( /.,]- ( /,p^ J,) ^]. 



On peut transformer cette égalité remarquable en observant que - 

 représente la courbure géodésique ■ de la courbe c, , et en ayant égard aux 

 formules (3) et (7). Elle prend alors la forme suivante : 



qui traduit, d'une manière simple et expressive, la formule compliquée 

 donnée par Gauss pour la mesure de courbure en un point d'une surface (*). 

 Le fameux théorème sur l'invariabilité du produit des rayons de courbure 

 principaux , lorsque Ton déforme la surface, en est une conséquence immé- 

 diate; en effet, l'équation (8) donne l'expression de ce produit, en fonction de 

 quantités qui ne dépendent que des longueurs et des angles de lignes tracées 

 sur la surface. Nous ajouterons qu'en vertu des relations établies au § 1 er , les 



expressions 



sio? I d«' 



jouissent de la même propriété. 



Dans le cas où les lignes coordonnées c, et c 2 se coupent sous un angle 

 constant û, l'équation (8) se réduit à celle-ci : 



s\nB ils,<h., /'/Si\ (dSi 



R'R" ' \ g, I \ (j. £ 



et si l'angle 6 est supposé droit , on a simplement 



R'K" \ g, 



(*) Commentaliones Societalis Begiae Goltitigensis recentiores, t. VI, cl, math, p. II'.*. 

 0. Bonnet, Ment, cité, p. '.M. 



