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SUR LA THEORIE GENERALE DES LIGNES 



ce qui revient aune formule de M. Bonnet relative aux systèmes orthogonaux (*). 

 Concevons maintenant que les deux systèmes c, et c 2 soient formés de 

 lignes géodésiques de la surface : il faudra faire dans l'équation (8), - et - 

 égaux à zéro. Nous aurons alors 



sinods { dSi 

 lt'R" 



<l ,<!/>, 



Fia. 



d'où résulte ce théorème : Lorsqu'une surface esl partagée en éléments infi- 

 niment petits par un réseau de lignes géodésiques, la courbure totale du 

 quadrilatère élémentaire (suivant l'expression adoptée par Gauss) est mesurée 

 par la différence seconde de l'angle sous lequel se coupent les lignes coor- 

 données , prise suivant les deux lignes successive- 

 ment (**). 



Le beau théorème de Gauss sur la courbure totale 

 d'un triangle géodésique découle immédiatement de là, 

 car si un système de lignes géodésiques issues d'un 

 point A est coupé par un autre système de lignes géo- 

 désiques, et que Ton applique l'équation précédente à 

 tous les éléments d'un quadrilatère DBCE (//>/. S), com- 

 pris entre deux lignes de chaque système, il viendra 



JJ R'R" =yjM^ = *c-e B -e E . 



Or, û c et B sont égaux, respectivement , aux angles C, n — B; d'autre part, 

 si Ton conçoit que les points D et E viennent se confondre eu A, on a 



donc 



SI 



*n — 'h, = A ; 

 "sin ods t ds 



R'R " 



= A + 13 + C — k. 



ce qui est le théorème de Gauss. 



(*) Mèm. cité, p. 55. 



(") D'où il suit, pour le dire en passant, que deux séries de lignes géodésiques ne peinent se 

 couper à angle constant sur une surface, à moins que — ne soit nul, auquel cas cette surface 

 csi dcveloppable. 



