TRACÉES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. 1 1 



L'équation (8) conduit de même, et sans l'emploi d'aucune formule auxi- 

 liaire, au théorème plus général de M. 0. Bonnet (*). En effet, supposons les 

 deux systèmes c, et c a formés de courbes quelconques : la courbure totale du 

 quadrilatère DBCE aura pour expression 



/■' ds, /'ds, r { (ls, /'"ils, 



J Oi J 9< -{ <J* ■{ '.h 



, g, 



0, — 6,, — S. -+- O n 



Mais si Ton tient compte des signes dont nos conventions affectent les 

 rayons g t et g. 2 , et si l'on convient de donner à l'angle de contingence géo- 

 désique le signe -f ou le signe — , selon qu'il tombe hors du quadrilatère 

 ou dans l'intérieur, on verra qu'il faut changer les signes de la première 

 et de la quatrième intégrale. La somme des quatre derniers termes se réduit 

 donc à 



/V.s- 



J 9 \ 

 cette intégrale s'étendant à tout le contour du quadrilatère DBCE ; et il vient 



JJ -îr-^^^^ f / - 



.'/ 

 Si l'on suppose que le côté DE se réduise au point A, on a 



I I — ;dr— = A-t-B + C — 77— / 

 JJ R'R" J g 



et Ton reconnaît là le théorème de M. Bonnet. 



§ IV. 



Je vais maintenant revenir sur les formules du £ H pour en déduire de 

 nouvelles conséquences, relatives, soit à la flexion d'une surface, soit à la 

 déviation des courbes tracées sur celle-ci. 



(*) Mém. cité, p. tôt. 



Tome XXXVII. 3 



