TRACÉES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. 23 



«le lignes coordonnées. Elle peut d'ailleurs èlre remplacée par celle-ci : 



(16) 





\dSidsJ 



car les termes introduits par cette substitution, savoir 



, , il, (dsidSi) , , d, (dsidsi) 



se détruisent, à cause des relations 



,/, (dsrfst) = idsididst, (h. (ds,ds 2 ) = 2rfs,rf s rfs,. 



Substituons maintenant, dans l'équation (1 6), à ds 'j^, ^ , leurs valeurs (13), 

 et divisons toute {'équation pards, = ds. 2 , nous aurons la formule suivante : 



(17). 



ds* 



fl de / 1 do\l 



cose — + — 



f/o ds t \(j, ds 



sinO 



,1 

 dSi 



' I do 1 1 do 



— -*-- cose — 



g, ds t \ gi dHj 



Telle est l'équation qui exprime la condition générale , à laquelle satisfont 

 deux systèmes de courbes quelconques tracées sur une surface, qui découpent 

 cette surface en losanges infiniment petits. 



L'égalité précédente prend une forme beaucoup plus simple lorsque l'angle 

 b est constant, ce qui annule d l 6, d.,9; elle se réduit alors à celle-ci : 



'% 



9* 



ils , 



■ coso 



I 



ds t J 



= 0. 



Il en résulte le théorème suivant : Pour que deux séries de lignes tracées 

 sur une surface, et s'y coupant sous un angle constant 0, décomposent la 

 surface en losanges infiniment petits , il faut que la somme des variations 

 de leurs courbures géodésiques suivant, leurs directions respectives, divisée 

 par la somme des variations de ces mêmes courbures suivant leurs directions 

 réciproques, donne un rapport constant, égal au cosinus de l'angle 0. 



