24 SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES LIGNES 



Il suffit de faire dans celte équation 9 = \ ou cos 6 = o, pour retrouver 

 la formule de M. Bonnet, 



ds, ds-2 



Si, au contraire, laissant l'angle S quelconque, on introduit dans la for- 

 mule (17) la condition que les lignes c, et c 2 soient géodésiques, on obtien- 

 dra la relation 



d [ I /d$ dsins\~l d l l<k_ d.sin9\ ~j _ 

 ds^ |_sin e \ds, rfs, /J ds, _sino\ds 2 ds, /J 



S VI. 



Je me propose maintenant de montrer comment, à l'aide d'une analyse 

 fort simple, on peut obtenir de nouvelles propriétés des systèmes de courbes 

 décrites sur une surface ; propriétés qui offrent de l'analogie avec les théo- 

 rèmes de Gauss dont nous avons traité plus haut, et peuvent même servir 

 à les établir. 



Désignons par («, /3, y), {»', ,6\ /), les cosinus des angles formés respecti- 

 vement parles tangentes aux courbes c { et c 2 , avec trois arcs rectangulaires. 

 Nous aurons 



cos( P „X) cos( Pi ,X) , , cos(yX) cm(^,X) 



p, p, 0, S s 



et des formules semblables relativement aux axes des y et des z. 

 De là nous tirons 



V '" r - 1 i-1 i dSidSi = (d,ad,«' H- . . .) — (d,«/,a ■+-...) = d, (a </,a -*-...) 



p,p, [?iiJj J 



, rcos(p„TJ , H , r-cos(J„Tî) "] 

 - d, («'d,* -4- ....) = d, - -^ ds, J - d, I -^ ds,J ■ 



