TRACEES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. 



O.) 



variations de la première et de la seconde courbure d'une géodésique , res- 

 pectivement suivant sa trajectoire et suivant elle-même , divisées par les 

 déplacements correspondants , diffèrent d'une quantité égale au double pro- 

 duit de la torsion de la géodésique, par la courbure géodésique de sa trajec- 

 toire. 



Considérons encore, sur une surface développable, deux séries de lignes 

 géodésiques se coupant orlhogonalement, ce qui peut avoir lieu d'une infi- 

 nité de manières. Les équations (24) se réduisent alors, à cause de - = o 

 et de „ = - , à 



d \ 



M 



ds, 



■■$ *&) 



ils. 



ds, 



ils* 



Les variations des deux courbures sont donc ici égales pour des déplace- 

 ments égaux. Comme d'ailleurs on a 



«W.l— )=dA 



il .ils, = O, (l,tls., = 0, 



les deux équations précédentes conduisent à celle-ci 



qui constitue une propriété curieuse des lignes géodésiques orthogonales, sur 

 une surface développable. 



§ VIL 



Nous avons, au § 111, déduit les théorèmes relatifs à la courbure totale 

 des polygones, tracés sur une surface quelconque, de la formule (8), qui 

 donne l'expression de la mesure de courbure, en fonction des courbures 

 Tome XXXVII. (i 



