36 SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES LIGNES 



"•éodésiques des lignes coordonnées c, cl c 2 . Mais on peut aussi, comme l'a 

 montré M. Bertrand (*), procéder dans un ordre ? inverse, c'est-à-dire éta- 

 blir, par des considérations directes, les théorèmes de Gauss et de M. Bonnet 

 sur la courbure totale, et en déduire les formules qui expriment le rapport 

 4 „ la variation de l'angle 9, etc. La démonstration de 31. Bertrand est 

 vraiment ingénieuse, mais peut-être a-l-elle le défaut d'être assez difficile 

 à suivre sans le secours d'une figure en relief. Je me propose ici de parvenir 

 directement au théorème général de M. Bonnet par une voie géométrique 

 bien simple, qui n'offre pas, je crois, le môme inconvénient. 



J'élablirai ou rappellerai d'abord quelques lemmes. 



I. Si, en chaque point (l'une courbe fermée décrite sur la sphère, on lui 

 mène un arc de grand cercle tangent, d'une longueur égale à un quadrant, 

 le lieu des extrémités de ces arcs partage la surface sphérique en deux parties 

 équivalentes : théorème de M. Bonnet, susceptible d'une démonstration très- 

 simple. Lorsque le rayon de la sphère est égal à l'unité, la portion de surface 

 sphérique limitée par le lieu dont il s'agit a pour expression 2-. 



IL Une courbe quelconque étant tracée sur une surface, si l'on circonscrit 

 à celle-ci une développable suivant celle courbe, et que l'on planifie ensuite 

 la développable, la transformée plane d'un arc quelconque U de la courbe 

 aura une courbure totale, égale à Y intégrale de l'angle de contingence géo- 

 désique de la courbe même, étendue à tous les éléments de l'arc C. Pour 

 abréger, appelons celle intégrale la courbure géodésique totale de l'arc C. On 

 sait d'ailleurs qu'en chaque point de l'arc C, la génératrice de la développable 

 circonscrite coïncide avec la conjuguée de la tangente à la courbe. 



III. Désignons par y l'angle compris entre la tangente à la courbe et sa 

 conjuguée; par de l'angle de contingence géodésique de celle courbe; par rfç 

 l'angle de deux génératrices infiniment voisines de la développable circon- 

 scrite. Nous aurons 



(h = (tX, — (h. 



Supposons en effet la développable planifiée : soient (fig. 8) M, M' deux 

 points infiniment voisins sur la transformée; MT, M'T' les tangentes en ces 



(') Comptes rendus de l Académie des sciences, l. XLII, p. 1088. 



