TRACÉES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. 



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Fil J- s - points; MS, M 'S' les génératrices corres- 



pondantes. On a 



SJIT= V , SMT'= r -w/>, MSM' = tfÇ, TNT'=cfr, 



et la seule inspection de la figure suffit pour 

 vérifier l'équation (*)• 



Si la courbe proposée est fermée , l'an- 

 gle y reprenant la même valeur lorsque l'on 

 revient au point d'où l'on est parti, Jd<p est 

 nul, et il vient 



les intégrales s'étendanl à tous les éléments de la courbe fermée. 



IV. On décrit sur une surface une courbe fermée C ; on la reporte sur 

 une autre surface, de telle manière qu'aux points correspondants les nor- 

 males soient respectivement parallèles (comme Gauss l'a indiqué pour la 

 sphère) : la courbure géodésique totale de la courbe ainsi obtenue C (supposée 

 fermée comme la première), est égale à celle de la courbe primitive C. En 

 effet, en désignant par de,', de', dans la transformée C, ce (pie l'on a nomme 

 de eU/s dans la proposée, on aura comme ci-dessus 



Mais les plans tangents aux points correspondants des lignes C et C étant 



parallèles, les génératrices correspondantes des développables circonscrites 



aux deux surfaces suivant ces courbes, le sont aussi; dK et r/£' sont donc 



égaux, d'où 



fch =*/M. (C. Q. F. D.) 



Tout cela étant admis, concevons que la surface, sur laquelle on reporte 



(*) Pour la généralité de colle formule, les génératrices seront menées, à partir de la courbe, 

 dans un sens déterminé par rapport au sens dans lequel on parcourt celle-ci; (h sera négatif si 

 les tangentes MT, M'T" se coupent du côté de la courbe où l'on a mené les génératrices, positif 

 dans le cas contraire; d'i changera aussi de signe lorsque le point de rencontre S passera de 

 l'autre côté de la courbe JIM'. 



