58 SUK LA THEORIE GÉNÉRALE DES LIGNES 



la courbe fermée G, soit une sphère de rayon égal à l'unité : Taire 2 com- 

 prise dans l'intérieur de la transformée C, est ce que Gauss nomme la cour- 

 bure totale de la portion de surface limitée par la courbe C. Traçons sur la 

 sphère la ligne S, lieu des extrémités des arcs de grand cercle tangents à la 

 transformée C, et égaux à un quadrant. Le demi-fuseau compris entre deux 

 de ces grands cercles infiniment voisins, qui l'ont entre eux l'angle de', et la 

 courbe S, a évidemment pour mesure d-J , et Ton a, en vertu du lemme I, 

 l'égalité 



d'où, par le lemme IV, 



c'est-à-dire que la courbure totale de la portion de surface comprise dans 

 une courbe fermée C, égale la demi-surface sphéric/ue , moins la courbure 

 géodésiaue totale de la courbe proposée C. 



Considérons maintenant sur une surface un polygone ARCD... formé d'arcs 

 de courbes quelconques, et soit n le nombre de ses côtés. Remplaçant d'abord 

 les sommets du polygone par des arcs de courbe infiniment petits, et appli- 

 quant le théorème précédent; puis, observant que les courbures géodésiques 

 totales des arcs substitués aux sommets A, B, C,... ont évidemment pour 

 limites respectives -—A, - — R, n — C,..., nous obtenons 



rds 



2 = A -+- B ■+■ C H- ... — [n — 2) 7r— / — ; 



f- désignant la somme des courbures géodésiques totales des arcs AB, BC, 



CD , C'est le théorème généra! de M. Bonnet (*) ; si les côtés du polygone sont 



des lignes géodésiques , / '^ se réduit à zéro , et Ton a le théorème de Gauss. 



Il sérail .railleurs très-facile, si l'on n'avait en vue que ce dernier théo- 

 rème, de simplifier encore la démonstration qui précède, en la dégageant 

 de la notion de la courbure géodésiquc. 



Corollaires. 1° Soient AB un arc de courbe quelconque de longueur finie; 

 «', f les angles que forment les tangentes aux extrémités de cet arc avec 

 leurs conjuguées respectives; on a évidemment, par le lemme III, 



(*) Mém. cite, p. 151. 



